Del, Gradyan, Diverjans ve Rotasyonel neydi?

3 yıllık yüksekeğitim hayatımda her yıl farklı bir müfredata tabi tutulduğum –üniverisite değiştirdiğim– için hiçbir zaman bu kavramları tam anlamı ile öğrendiğimi düşünmüyorum. Buna rağmen, YouTube'da Parth G. adlı kanalın yüklediği video beni benden alıyor ve konuyu yalnızca yarım saat içinde anlamamı sağlıyor. Bu yazıyı da o videoda anlatılan bilgilerin bir "cheatsheet"i olarak hazırlıyorum ki tekrar tekrar izlememe gerek kalmadan açıp hızlıca bakabileyim.

Aşağıdaki açılır bileşenler cheatsheet kavramına uyması adına konuldu. Detaylı bir anlatım için metni okuyunuz.

Del Operatörü ya da Nabla

Bu operatör tepetaklak edilmiş Yunan alfabesindeki büyük delta harfi ile gösterilir. Kendisini kısmi türevlerin bir vektörüdür, bir kabül olarak vardır ve tek amaç notasyondaki karmaşıklığı azaltmaktır. Bu kabülün üç boyuttaki karşılığı aşağıda verilmiştir. İleriki boyutlarda da yalnızca eleman sayısında değişiklik olur.

$$
\nabla = \left( \frac{d}{dx}, \frac{d}{dy}, \frac{d}{dz}\right)
$$

Gradyan İşlemi

Gradyan, del operatörünün yanına bir nicelik koyarak o niceliğin tüm boyutlarını kısmi türeve sokmak demektir.

Türevin bize anlattığı değişimdeki hız olduğu için gradyan işleminin bize anlattığı da verilen skalar veya vektörel nicelik için her boyuttaki değişimdeki hızıdır.

Diverjans İşlemi

Del operatörünün vektörel bir nicelikle skalar çarpımına diverjans işlemi denir. Cümleye dökmesi korkunç olan bu işlem, görüntüde daha basittir. Kullandığım gösterimde vektörleri kalın yazı tipi ile belirteceğim çünkü websitemdeki $\LaTeX$ çeviricisi nedense yukarıya sağ ok koymuyor!

$$
\nabla \cdot \textbf{E}
$$

İki vektörün skalar çarpımı, ortaokul matematiğinde görmüş olduğumuz parantez dağıtma işlemidir. Bu parantez dağıtma işleminde yönelim birim vektörleri dikkate alınır ve farklı yönelimde aralarında $90^\circ$ olan vektörlerin çarpımı 0 olduğu için, şu şekilde yazılabilir:

$$
\textbf{A} \cdot \textbf{B} = (A_x \textbf{x}, A_y\textbf{y}, A_z \textbf{z}) \cdot (B_x \textbf{x}, B_y\textbf{y}, B_z \textbf{z}) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z
$$

Öyleyse bu bilgiyi kullanarak ilk verdiğimiz diverjans işlemini del operatörüne göre açalım. $\textbf{E} = (E_x, E_y, E_z)$ olduğunu düşüneceğiz. Çıkan sonucun bir skalar olduğuna dikkat edin.

$$
\nabla \cdot \textbf{E} = \left( \frac{d}{dx}, \frac{d}{dy}, \frac{d}{dz}\right) \cdot (E_x, E_y, E_z)
$$
$$
\nabla \cdot \textbf{E} = \frac{d E_x}{dx} + \frac{d E_y}{dy} + \frac{d E_z}{dz}
$$

Diverjans işlemi bize, istenilen noktanın çevresinde vektör uzayımızın ne kadar içe doğru veya dışa doğru akmaya çalıştığını söyler.

Rotasyonel İşlemi

Peki ya del operatörümüzle bir vektörü vektörel çarparsak ne olur? İki vektör birbirleri ile çarpıldığında ortaya üçüncü bir vektör çıkar ve bu üçüncü vektör, çarpıma soktuğumuz iki vektörümüzün ne kadar hizalanmamış olduğunun ölçüsüdür. Örneğin vektörlerimiz birbirlerinden dik bir açı ile ayrılıyorlarsa çarpımlarından doğan vektörün uzunluğu maksimum olacaktır. Bir başka örnek olarak, eğer ki vektörlerimiz arasındaki açı $0^\circ$ veya $180^\circ$ ise çarpım sonucu vektörümüzün boyu $0$ olacaktır.

Del operatörümüzle herhani bir vektör uzayının vektörel çarpımı ise o vektör uzayının ne kadar sirkülasyona sahip olduğunu bize anlatır.

Bir nehiri vektörel uzayımız olarak düşünelim – nehirler akan su birikintileriydi, değil mi? Bu nehrimizde belirli bir nokta seçelim ve orada sahip olunan sirkülasyonu incelemek isteyelim. Yapmamız gereken, + veya buna benzer bir şekilde tahtadan inşa ettiğimiz aletimizi oraya bir rulman ile sabitleyerek bırakmak ve kanatlarının ne kadar hızlı döndüğüne bakmaktır. Cismimizin saat yönünde dönüşü kendisine dik yukarı yönlü bir vektörel nicelikle gösterilir. Pek tabi ki tersi de geçerlidir.

Rotasyonel işlemimiz bize bu bilgiyi verir.

Maxwell'den Örnekler

Maxwell'in dört büyük eşitliği, her fizikçi için gözde bir pozisyondadır herhalde. Bir elektrik ve elektronik mühendisliği öğrencisi olarak bu eşitlikleri öğrenebilmeyi çok isterdim, ne yazık ki hiçbir zaman kaliteli bir vektör kalkülüsü veya elektromanyetik teori dersim olmadı. Yani oldular da, biliyorsunuz işte. Hem zaten bir elektrik ve elektonik mühendisliği bölümü öğrencisinin seçebileceği birçok anabilim dalı bulunuyor ve birçok anabilim dalı bu yüksek fizikten uzak yaşamlarını sürdürebiliyor! Detaylar için şu yazımı ziyaret etmenizi öneriyorum:

Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Tavsiyeleri

Bu metni Marmara Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Kulübü bünyesinde, bize gelen özel sorulara verdiğim cevaplar ile oluşturdum. Buna ek olarak aynı kulüpteki eski başkanımızın ve mentörüm olan Yusuf Savaş’ın Teknoloji Fakültesi ve Mühendislik Fakültesi farkları üzerine yazdığı yazısını…

👨‍💻 electricalgorithm ⚡Gökhan K.

Şimdi ise yukarıda öğrendiğimiz bilgilerimizin ışığında elimizden geldiğince Maxwell'in denklemlerini anlamaya çalışacağız.

Gauss Yasası

$$
\nabla \cdot \textbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
$$

Devam edecek, yeni bir staja başladım!